今頃かよ．．．

やっとラグランジュ乗数について理解した．いや，まあ，本とか読めばすんだ話なんだろうけどね．．．

それだけのために，y=f(x)g(x), y=f(g(x)), y=f(x,y) の微分の公式の証明というか，導出をしてしまった．高校時代は受験勉強よりもこんなことばっかやっていたな〜などとしみじみ思いましたです，はい．

とりあえず，ラグランジュ理論を使わずに，制約条件のある最適化問題を特にはどうするのかなと考えてみたわけです．一番簡単なのを考えれば，

z=f(x,y)
g(x,y)=0

となるわけで，つまり g という制約条件を満たす x,y中で，z を最小にするx,yを求めよ
ということになる．

で，まず g を変数tを用いて別な表現をすると，

g(x(t),y(t))=0

となる,関数x, yを定義して z について考えると

z=f(x(t), y(t))

となるわけだから，これなら簡単に最小にするtは見つけれれて，

z' = (df/dx)(dx/dt) + (df/dy)(dy/dt) = 0

となる tを探せばよい．
※ 微分をdで表す，それと変微分も同じdで表すので，適宜頭んなかで置き換えるように

じゃあ，今度はこれをgを使って表現しなおすと,まず gを微分して

(dg/dx)(dx/dt) + (dg/dy)(dy/dt) = 0

を得るから，これを上の式に代入すると

z' = -(df/dx){(dg/dy)(dy/dt)/(dx/dt)} + (df/dy)(dy/dt) 
   = { -(df/dx)(dg/dy)/(dg/dx) + (df/dy) }(dy/dt) = 0

となるわけだ．（うむ，読みにくいｗ）

で，t は後から付け加えたものだし，yをtで微分したものが 0だとするのは
一般的ではないので無視すると(ぉぃｗ)

 (df/dx)(dg/dy) - (df/dy)(dg/dx) = 0

となり，これを満たすx,yを求めれば，この最適化問題は解けるわけです．

ではです，これを

 (df/dx)/(dg/dx) = (df/dy)/(dg/dy) = -b

とか置いてしまって，式変形してあげると

 (df/dx) + b*(dg/dx) = 0
 (df/dy) + b*(dg/dy) = 0

となり，新しくLという関数を考えて

 L(x,y,b) = f(x,y) + b*g(x,y)

とすると，この最適化問題は

 dL/dx = 0
 dL/dy = 0

を解く問題になり，これを一般化すればラグランジュ理論になるわけ．
# あってるよな(^^;